Геннадий Алексеевич Гришин родился 25 ноября 1964 года в городе Данков Липецкой области.
Начинал профессиональную карьеру в футбольном клубе "Металлург" города Липецка.
После службы в армии был приглашён в московское "Торпедо". В команде дебютировал в гостевом матче против "Кайрата", в котором сделал голевую передачу.
За "Торпедо" (1986—1995) провёл 202 матча (один из рекордсменов), забил 32 гола. Провёл 26 матчей в еврокубках — рекорд среди торпедовцев, забил 4 гола.
В 1993 году перешёл в немецкий "Лейпциг", который после первого круга сезона 1992/93 имел шансы выйти в 1-ю Бундеслигу. Контракт был на полгода и после его истечения Гришин вернулся в "Торпедо".
Сезон 1993/94 отыграл в "Хапоэле" (Израиль), но после смены руководства вынужден был покинуть команду.
В 1996 году перешёл в ярославский "Шинник".
Позже выступал за "Томь" и "КАМАЗ-Чаллы".
В 2003—2008 годах работал тренером в ФК "Москва", с февраля 2008 — тренер ЦСО "Локомотив".
Мастер спорта СССР (1987).
Обладатель Кубка СССР (1986).
Обладатель Кубка России (1993).
Бронзовый призёр чемпионатов СССР (1988, 1991).