Алексей Николаевич Байцуров родился в 1978 году в Лебедяни Липецкой области.
В 2001 году окончил Рязанский государственный медицинский университет имени академика И.П.Павлова, получив квалификацию врача.Трудовую деятельность начал в 2001 году врачом-интерном больницы скорой медицинской помощи имени Макущенко в Липецке.
С 2002 по 2003 годы работал заведующим хирургическим отделением в Лев-Толстовской ЦРБ.
С 2003 по 2008 - хирургом в липецкой городской больнице №3 "Свободный Сокол".
С 2008 по 2014 работал хирургом, заведующим хирургическим отделением Лебедянской ЦРБ.
С 2014 года по декабрь 2015 года – главный врач ГУЗ "Лебедянская межрайонная больница".
В декабре 2015 года Распоряжением главы администрации Липецкой области Олега Королева назначен на должность начальника управления здравоохранения Липецкой области.
Женат. Воспитывает дочь.